آموزش ریاضی حل مسئله

راهبرد های آموزش حل مسأله در دوره ابتدایی

مقدمه

مسأله را می توان به زبان ساده تعریف کرد. هر گاه فردی بخواهد کاری انجام دهد ولی نتواند به هدف خود برسد، برایش مسأله ایجاد می شود. به عبارت دیگر هر موقعیت مبهم یک مسأله است. حل مسأله نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است و مسأله و تلاش برای حل آن جزئی از زندگی هر فرد است. فرآیند برخورد با شرایط زندگی همان مسأله است.

دو دیدگاه متفاوت در آموزش ریاضیات نسبت به حل مسأله وجود دارد:

1- ریاضی یاد بدهیم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل کنند.

2- ریاضی را با حل مسأله آموزش دهیم.

در دیدگاه اول آموزش ریاضی مطابق با محتوای موضوعی است و مفاهیم متفاوتی تدریس می شوند. انتظار داریم دانش آموزان با استفاده از دانش ریاضی خود مسائل متفاوت را حل کنند. اما در دیدگاه دوم آموزش ریاضیات از طریق حل مسأله اتفاق می افتد. یعنی دانش آموز مسأله حل می کند و در ضمن آن محتوا و مفاهیم جدید ریاضی را می سازد، کشف می کند و یا یاد می گیرد. در حال حاضر ، دیدگاه دوم در آموزش ریاضیات بیشتر مطرح است. در این نگاه حل مسأله نقطه تمرکز یا قلب تپنده آموزش ریاضیات است.

مهارت حل مسأله

اگر از معلمان ریاضی سوال شود که مشکل اصلی دانش آموزان در درس ریاضی چیست؟ به یقین خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند. در مطالعه تیمزtims نیز همین موضوع را شاهد بودیم. چون در اغلب    مسأله های آزمون کتبی این مطالعه عملکرد دانش آموزان پائین است. در واقع می توانیم بگوئیم دانش آموزان توانایی یا مهارت حل مسأله را ندارند.

یکی از دلایل این ناتوانی، فقدان طراحی برای آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. یا به عبارتی معلمان به آنها یاد نداده اند که چگونه مسأله را حل کنند. هر گاه دانش آموزان با مسأله ای روبه رو شده و از حل آن عاجز مانده اند معلمان تنها به بیان راه حل یا پاسخ مسأله اکتفا کرده اند و نگاه های     پرسش گر، کنجکاو و متحیر دانش آموزان با این سوال باقی مانده است:معلم ما چگونه توانست مسأله را حل کند؟ راه حل مسأله چگونه به فکر او رسید؟ چرا ما نتوانستیم راه حل مسأله را کشف کنیم؟

در خیلی از مواقع معلمانی که سعی کرده اند به طریقی حل مسأله را به دانش آموزان خود یاد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش های نادرست داده اند. برای مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهای مسأله بسیار مهم اند. زیر آن ها خط بکشید. فراموش نکنید که باید از آن ها استفاده کنید. همین آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبی تشخیص ندهند. وقتی مسأله زیر برای دانش آموزان کلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عملیات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت های جمع و تفریق و ... را نوشتند:

یک هواپیمای بوئینگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پیاده کرد. حالا این هواپیما چند نفر مسافر دارد؟

یا برای دانش آموزان گفته اند که در مسأله بعضی از کلمه ها بسیار مهم است. برای مثال اگر کلمه روی هم را دیدید مسأله مربوط به جمع است و اگر کلمه اختلاف را دیدید حتماً باید تفریق کنید.

به همین دلیل در مسأله زیر که در مطالعه تیمز (2003) آمده بود، عده ای از دانش آموزان کلاس چهارم شرکت کننده در این مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جای ضرب، جمع کردند.

در یک سالن سینما 15 ردیف صندلی وجود دارد. در هر ردیف 19 صندلی قرار دارد. این سالن روی هم چند صندلی دارد؟ بهتر است این روش های آموزش نادرست را به کار نبریم و به دنبال طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش آموزان باشیم.

 

آموزش حل مسأله

آیا حل مسأله آموزش دادنی است؟ یکی از دلایل فقدان طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش آموزان، این است که آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند که حل مسأله آموزش دادنی نیست بلکه یک هنر یا ویژگی و توانایی است که بعضی از انسان ها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ کس تلاشی برای آموزش حل مسأله به دانش آموزان نمی کرد. اما تعداد کسانی که در مورد آموزش حل مسأله تحقیق می کنند بیشتر است. یکی از افرادی که در مورد چگونگی حل مسأله و آموزش آن تحقیق کرد، جرج پولیا است. حاصل کار او در کتاب چگونه مسأله حل کنیم منتشر شد. مرحوم احمد آرام این کتاب را ترجمه کرده است. او در مقدمه کتاب خود می گوید: من یک ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقه مندم بدانم چرا من       می توانم مسأله ریاضی را حل کنم و دیگران نمی توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مسأله ریاضی را حل       می کنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سوال ها را دنبال کرد و مدلی برای تفکر حل مسأله و آموزش راهبردها اراده کرد. پولیا دو حرف اساسی دارد. 1- مدل چهار مرحله ای برای تفکر حل مسأله 2- آموزش راهبردها که البته نکته دوم در آموزش اهمیت بیشتری دارد.

مدل چهار مرحله ای پولیا

فرآیند تفکر حل مسأله برای افراد مختلف متفاوت است. پولیا تلاش کرده تفکر حل مسأله را به نوعی مدل سازی کند. او الگویی چهار مرحله ای را مطرح کرده است. در فرآیند حل مسأله این چهار مرحله چهار گام طی می شوند تا یک مسأله ریاضی به طور کامل حل شود. مدل چهار مرحله ای او به این شکل است:

1- فهمیدن مسأله

گام اول حل مسأله فهمیدن آن است. این گام نشان می دهد ، مسأله وقتی مسأله است که نکته ای برای فهمیدن داشته باشد. فهمیدن مسئله یعنی تشخیص داده ها و خواسته های آن و درک ارتباط بین آنها. فهم یک مسأله در واقع بخش اصلی فرآیند حل مسأله است.

مسأله های پیچیده حل نمی شوند. چون اغلب در فهم آنها مشکل داریم. اغلب دانش آموزان در فهمیدن مسأله اشکال دارند. یکی از دلایل آن اشکال در درک مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان می توانند برای طی کردن این گام، سوال های گوناگونی مطرح کنند به نمونه های زیر توجه کنید:

داده های مسأله چیست؟

خواسته های آن کدامند؟

مسأله را به صورت خلاصه بیان کنید.

مسأله را به زبان و بیان خود توضیح دهید و دوباره تکرار کنید.

مسأله را به صورت نمایشی اجرا کنید.

مسأله را با شکل ها و یا اشباء مدل سازی کنید.

آیا معنی واژه ها، لغات و اصطلاحات به کار رفته در مسأله را می دانید؟

سوال ها و توصیه هایی از این دست کمک می کنند، دانش آموز در مورد مسأله بهتر فکر کند و معلمان نیز مطمئن شوند که آنها مسأله را درک کرده اند.

2- طرح ریزی کردن

در این طرح مسأله از ابعاد متفاوت ریاضی بررسی می شود. یعنی تعیین این که مسأله به کدام یک از      شاخه های هندسه، کسر، جبر، و ... مربوط است. چگونه می توان آن را مدل سازی کرد؟ کدام روش یا راهبرد برای حل آن مناسب تر است؟ در این مرحله ممکن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این افت و برگشت تا پیدا کردن یک راه حل مناسب ادامه می یابد. در آموزش ابتدایی آن چه بیشتر از همه برای دانش آموزان معنی دارد، تشخیص روش یا راهبرد مناسب برای حل مسأله است.به همین دلیل این گام را به انتخاب راهبرد می شناسیم. راهبرد یعنی یک روش یا راه حل عام که در بسیاری از مسائل کاربرد دارد. آموزش راهبردهای حل مسئله ، در واقع مهم ترین بخش حل مسأله است که برای آموزش هنر حل مسأله راهی به دانش آموزان نشان می دهد و آشکار می سازد.

3- حل مسأله

در گام سوم، وفتی راهبرد مناسب برای حل مسأله مشخص شد ، به حل آن اقدام می کنیم، هنگام حل مسأله ممکن است به این نتیجه برسیم که راهبرد انتخاب شده مناسب نیست و به حل مسأله منجر نمی شود. بنابراین باید به گام دوم برگردیم و راهبرد تغییر دهیم. یا حتی مجبور شویم برای فهمیدن بخش های از مسأله به گام اول برگردیم.

حل مسأله صرفاً نوشتن عملیات و عبارت های ریاضی نیست، گاهی با انتخاب راهبرد، رسم شکل و کشیدن یک شکل مناسب مسأله به طور کامل حل می شود و دیگر نیازی به نوشتن عملیات نیست. با حدس زدن پاسخ مسأله و آزمایش آن، خواسته مسأله را مشخص می کند. در حالی که عملیات و راه حل مستقیمی برای رسیدن به جواب ننوشته ایم.

4- نگاه به عقب

گام چهارم را اغلب دانش آموزان و معلمان طی نمی کنند. به عبارت دیگر پیدا کردن پاسخ و حل ریاضی مسأله را پایان کار می دانند در حالی که در فرآیند حل مسأله گام نگاه به عقب اهمیت زیادی دارد. این مرحله جلوه ها و معنی های متفاوتی دارد. تفسیر و ترجمه جواب ریاضی مسأله در دنیای واقعی، بررسی منطقی بودن پاسخ و این که جواب به دست آمده همان خواسته مسأله است یا نه بررسی صحت عملیات انجام شده بررسی مجدد مراحل مسأله ،تطبیق شرایط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسی مسأله با یک راهبرد یا راه حل دیگر و در نظر گرفتن سایر حالت ها و شرایط برای مسأله ، نمونه هایی از کارهایی هستند که می توان در گام آخر انجام داد.

راهبردهای حل مسأله

چند نکته:

1- زمانی که آموزش یک راهبرد مورد نظر است، از دانش آموزان می خواهیم ، مسأله های داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل کنند تا با آن به طور کامل آشنا شوند. اما با گذشتن از آموزش راهبردها در هنگام حل مسأله آنها می توانند از هر راهبردی که مایل هستند مسأله را حل کنند. به این ترتیب، یک مسأله می تواند با راهبردهای متفاوت در کلاس حل شود. در صورتی که این اتفاق در کلاس بیفتد باعث خوشحالی و سربلندی معلم خواهد شد.

2- آموزش راهبرد یعنی فراهم کردن شرایط و موقعیتی که دانش آموز درک کند، راهبرد مورد نظر برای حل مسأله کارآیی دارد.

3- تعداد راهبرد زیاد است اما آموزش تعداد زیادی راهبرد به دانش آموزان طبق تحقیقات انجام شده مناسب نیست. زیرا مانع تفکر و خلاقیت دانش آموز خواهد شد. در این جا چند راهبرد بررسی می شوند:

الف: راهبرد رسم شکل: طبیعی ترین  راهبردی که به ذهن دانش آموز می رسد رسم شکل است. بسیاری از مسائل با کشیدن شکل مناسب با مسأله به طور کامل حل یا راه حل آنها آشکار می شود. اغلب معلمان این راهبرد(راه حل) را در حل مسأله ها از دانش آموزان نمی پذیرند به همین دلیل این راهبرد طبیعی کم کم کنار گذاشته می شود. مثال زیر نشان می دهد ، چگونه می توان از این راهبرد در حل مسأله ای استفاده کرد. در یک مزرعه 20 مرغ و گاو وجود دارد. تعداد پاهای آنها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارند؟

این مسأله با استفاده از راهبرد های رسم شکل، با اطلاعات دانش آموزان کلاس دوم دبستان قابل حل است.

- ابتدا 20 دایره به جای سرها می کشیم. برای هر کدام 2 خط (2 پا) در نظر می گیریم تا این جا می شود   40 پا، 16 پای باقیمانده را با اضافه کردن 2 تا 2 تا رسم می کنیم.

ب) راهبردهای زیر مسأله: مسأله های پیچیده و چند هدفی معمولاً از چند مسأله ساده تشکیل شده اند. گاهی حل یک مسأله و یا زنجیره ای از زیر مسأله ها به حل مسأله اصلی منجر می شوند. تشخیص زیر مسأله ها و حل آنها، راهبرد مهمی برای حل مسأله های ترکیبی است. مسأله زیر با استفاده از این راهبرد حل شده است:

رضا 37 عدد گردو جمع کرده است. تعداد گردوهای علی 17 تا بیشتر از اوست. این دو نفر روی هم چند گردو جمع کرده اند؟

این مسأله در واقع از دو مسأله کوچک تشکیل شده است که با حل آنها می توان پاسخ را پیدا کرد.

1- تعداد گردوهای علی چند تا است؟

2- تعداد گردوهای رضا و علی روی هم چند تاست؟

پس 1- تعداد گردوهای علی 54 = 14+37

2- تعداد گردوهای رضا و علی 91=37+54

در این راهبرد ، دانش آموزان باید یاد بگیرند، چگونه زیر مسأله ها را تشخیص دهند. آنها را جداگانه بنویسند و سپس به حل تک تک آنها اقدام کنند.

ج) راهبرد حل مسأله ساده تر: گاهی مسأله پیچیدگی های دارد که نمی توان آن را به راحتی حل کرد. اما وقتی آن را ساده می کنیم، یا حل و یا روش حل آن ظاهر می شود. وقتی مسأله در حالت ساده تر بررسی شد یا یک الگو یابی می توان آن را به حالت کلی تعمیم داد. ساده کردن عددها و داده ها نیز بخشی از این راهبرد است. در مسأله زیر با ساده کردن عدد ها می توان به راه حل نزدیک شد.

در یک کارخانه ، لوله هایی به طول متر تولید می شود. در یک روز 244 عدد لوله تولید شده است. در این روز چند متر لوله تولید شده است؟

شکل ساده شده مسأله چنین است: یک کارخانه لوله هایی به طول 2 متر تولید می کند. اگر 200 عدد لوله تولید شود، چند متر لوله تولید شده است؟ یعنی با تغییر دادن عددها و ساده کردن آنها، می توان به راه حل مسأله که ضرب است نزدیک شد.

د) راهبرد حذف حالت نامطلوب: وقتی از تمام حالت های ممکن پاسخ یک مسئله و با استفاده از داده ها،   فرض ها و اطلاعات مسأله حالت های نامطلوب یکی یکی یا دسته دسته حذف می شوند، خود را به پاسخ نزدیک می کنیم. حذف  حالت های نامطلوب ، یعنی کنار گذاشتن حالت هایی که با شرایط و فرضیات مسأله تطبیق نداند تا رسیدن به پاسخ و حالت مطلوب که مورد نظر مسأله است. به مثال زیر توجه کنید.

یک بازی دو نفره به این صورت انجام می شود که یک نفر عددی بین 1 تا 100 در ذهن خود مجسم می کند. نفر بعد با سوال کردن از او، به طوری که فقط پاسخ بلی یا خیر بشنود، باید به عددی دست یابد که در ذهن نفر اول است. سوال آیا این عدد دو رقمی است مناسب نیست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد( حالت نامطلوب) حذف می شود و 90 عدد دیگر باقی می ماند.

 سوال آیا این عدد  زوج است، مناسب است، چون در هر صورت یعنی از حالت ها حذف می شوند. بهترین سوال برای شروع است: آیا این عدد بین 1 تا 50 قرار دارد؟ به این ترتیب نیمی از حالت ها حذف می شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدی این است که آیا عدد بین 1 تا 25 است؟ به همین ترتیب، با نصف کردن، عدد های نامطلوب کم کم حذف می شوند تا به عدد مورد نظر دست یابیم.

 

 

 

منابع:

- عباس زادگان، سید محمد، ارائه الگویی در برنامه درسی ریاضیات جدید، فصلنامه تعلیم و تربیت، شماره 4، سال 1364، ص 37.

- گروه ریاضی کاربردی، واژه نامه ریاضی ، انتشارات جهاد دانشگاهی صنعتی شریف، چاپ پنجم، تیر 1369.

- شیخ زاده، مصطفی و مهر محمدی، محمود 1383، نرم افزار آموزشی ریاضی ابتدایی براساس رویکرد سازنده گرایی و سنجش میزان اثربخشی آن، نوآوری های آموزشی، سال سوم، شماره9.

 

 

 

 

 

 

 

 

مسئله چیست ؟

 

مسئله به موقعیتی اطلاق می شود که در آن فرد چیزی را طلب می کند ، ولی نمی داند که چگونه به طور مستقیم به آن دست یابد . برای کسب مهارت در حل مسئله ، فرد باید تمرینهای زیادی انجام دهد . کودکان انتظار دارند که حل کردن مسئله را صرفا" با حل کردن و بدون هیچ راهنمایی و یا بحث در این زمینه یاد بگیرند .

مسایل در درجه اول موجب تکرار و تمرین مطالب تدریس شده می گردند ، به کمک ریاضیات می توان کم و بیش (( جهان واقعی )) را در ذهن به نظم آورد .

چگونه می توان حل مسئله را به شیوه مؤثری آموزش داد ؟

از آنجا که آموزش و همینطور یادگیری حل مسئله کار دشواری است ، محققان در سالهای اخیر توجه بسیاری به آن معطوف داشته اند . بر مبنای این تحقیق می توان چندین زمینه قابل تعمیم را مشخص کرد .

راهبردهای حل مسئله را می توان صراحتا" آموزش داد .

زمان :

دانش آموزان باید برای (( هضم کردن )) و تفکر کافی در مورد مسئله ، یعنی زمان برای درک موضوع ، زمان برای کشف مسیر حل و زمان برای فکر کردن به جواب کاملا" وقت داشته باشند . بعلاوه معلمان باید دانش آموزان را تشویق کنند که در صورت تمایل بیش از
رها کردن مسئله ، زمان بیشتری را برای کارکردن روی آن صرف کنند .

طرح درس :

فعالیتهای آموزش در زمان باید از طریق برنامه ریزی هماهنگ شوند تا دانش آموزان فرصت پرداختن به مسایل متعدد را داشته باشند .

 

راهبردهای حل مسائل :

1- مسئله را درک کنید .

2- نقشه ای برای حل آن طرح کنید .

3- نقشه را اجرا کنید .

4- برای امتحان کردن جواب به دست آمده به عقب برگردید .

این مدل مبنایی برای حل مسئله تشکیل می دهد که در بیشتر کتابهای ریاضی مدارس ابتدایی مورد استفاده قرار می گیرد . بنابراین دانش آموزان ، دیدن ، طرح نقشه ، عمل ، وارسی را می آموزند .

 برای حل مسایل باید به این شعار توجه داشت : همان طور که مسئله را
 می خوانید سعی کنید آن را حل کنید .

1- اقدام کردن                2- یک طرح یا دیاگرام بکشید .           

3- به دنبال الگو بگردید .         4-  جدول رسم کنید . 

5- همه امکانها را به طور اصولی برشمارید .          6- حدس بزنید و امتحان کنید .

7- خواسته ها ، مفروضات و اطلاعات مورد نیاز را مشخص کنید .

8- یک جمله باز بنویسید .   

9- مسئله ای حل کنید که از مسئله اصلی ساده تر یا با آن هم ارز باشد .

10- دیدگاه خود را نسبت به مسئله تغییر دهید .

 

استفاده از مواد آموزشی دست ساز :

تحقیقات نشان داده است که در دروسی که در آنها از مواد آموزشی دست ساز استفاده
 می شود نسبت به دروسی که فاقد این مواد آموزشی هستند از احتمال بیشتری برای ارائه فعالیتهای ریاضی برخوردارند . وقتی که بچه ها مواد آموزشی دست ساز را به کار می برند ، ریاضیات را بهتر درک می کنند .

ارزشیابی :

ارزشیابی باید بخش مکملی در آموزش ریاضیات باشد . باید مشخص شود که آیا آنچه که ما فکر می کنیم هر کودک باید یاد بگیرد . امتحانات معیاریابی یا مهارت به شما کمک می کند که کودک را بر حسب توانایی فردی او مورد ارزشیابی قرار دهید .

نظر سنجی از والدین ، که در فرمهای پرشده یا جلسات اولیا و مربیان عنوان می شود ، راهنماییهای مفیدی در زمینه آنچه که کودکان آموخته اند ، در اختیار می گذارند .

تشخیص :

برای پرداختن به نیازهای کودکان جهت یادگیری ریاضیات ، نخست باید نقاط قوت و ضعف آنها را مشخص کرده از جمله خط مشیهای تشخیص در ریاضیات ، می توان به موارد زیر اشاره کرد :

1- مطمئن شوید که ضعف ریاضی یک کودک ضعفی واقعی است .

2- به خاطر داشته باشید که هر کودک پیش از آن که از نظر اداراکی به رشد نهایی برسد . از مراحل متعدد رشد عبور می کند .

3- قوه تشخیص خود را با استفاده بدون تعصب از مواد آموزشی دست ساز تقویت کنید .

4- در تشخیص خود ، جنبه هایی را که برای دانش آموزان مهیج هستند ، فراموش نکنید .

5- برای جفت و جور کردن تصاویر ذهنی درست کودک انعطاف پذیر و شکیباباشید .

6- نگرش مثبتی داشته باشید .

7- بین خطاهایی که به طور اتفاقی رخ می دهد و خطاهایی که دایما" تکرار می شود ، فرق بگذارید .

 

درمان (( جبران عقب ماندگی )) :

درمان مناسب با تشخیص مناسب شروع می شود . اگر تصویر روشنی از نیازهای کودک داشته باشید می توانید چنان برنامه ای تنظیم کنید که به کمک آن پیش نیازهای ضروری کودک برطرف گردد . شما باید شاگردان خود را چنان گروه بندی کنید که کسانی که تنها به یک اشاره خاص نیاز دارند و کسانی که باید به طور فردی با آنها کار شود مشخص گردند . تحقیقات نشان داده است که برخی از روشهای مؤثر درمان به شرح زیر می باشد :

1- کودک را در برنامه درمان خود دخالت دهید .

2- طرح آموزش جبرانی باید با آموزشهای قبلی متفاوت باشد .

3- زمینه تجاری را فراهم آورید که به استفاده از چند حس از حواس پنجگانه
دانش آموزان نیاز داشته باشد .

4- به کمک ابزارهای واقعی ، کودک را به سوی درک شهودی از اندیشه های ریاضیات راهبری کنید تا بتواند از این طریق ، ادراکات خود را به صورت شفاهی و نهادین بیان کند .

5- کودک را تشویق کنید تا جوابها را پیش از حل مسایل برآورد کند .

6- از کودک بخواهید که از ماشین حساب استفاده کند .

 

استفاده از فرصتهای حساس :

معلمان باید علاوه بر تدوین یک برنامه جدید  ، لحظه به لحظه بیندیشند .

هدف نهایی آن است که در کودکان نه تنها جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم را بیاموزند ، بلکه مهمتر از آن این است که بدانند چه وقت باید هر یک از این اعمال را در شرایط حل مسئله به کار گیرند .

هدف از آموزش ریاضی پرورش استعداد ، تقویت توانائیها ، اطلاع و آگاهی از دانش ریاضی جهت درک و فهم سایر دروس و ....... است .

نقش اجتماعی ریاضیات :

آیا می توانیم برای آموزش ریاضیات در دنیایی که در آن تکنولوژی نقش عمده را بازی
می کند نقش اجتماعی جدید پیدا کنیم ؟

دلیل 1 -  ریاضیات بی طرف است و در شرایطی دور از مسایل متنازع اجتماعی بهتر آموخته می شود .

 

پیامدها : 1- آموزگاران ، همچنان سخت درون مرزهای تخصص گرایی موضوعی خود خواهند غنود .

2- همه حکومتهایی که ریاضیات را به عنوان ابزاری کارساز برای پیشرفتهای تکنولوژیکی و اقتصادی  می بینند ، همچنان بیشترین اولویتها را به تدریس آن اختصاص خواهند داد .

3- ریاضیات در چشم اکثر مردم عامی ، همچنان هاله جادویی و تنزه خود را ، بر فراز وابستگیهای معمولی آدمیان ، دارا خواهدبود .

4- آموزش ریاضیات کمک مستقیمی به مسایل فوری اجتماعی نسل کنونی نخواهد کرد .

دلیل 2 - از آنجا که ریاضیات ، هم تکنولوژی در همه شکلهای گوناگونش ، هم سیاست تعیین چگونگی کاربردش را پی ریزی می کند ، تدریس آن باید آگاهانه به این مسایل مربوط باشد .

پیامدها : 1- این کار دشواری است . به علاوه بسیاری از آموزگاران ریاضی ، اگر نه همه شان وظیفه خود نمی دانند که مسایل اجتماعی و متنازع را لمس کنند .

2 - انتظار می رود حکومتها واکنش مخالف نشان دهند . این در برخی از کشورها که تلاشهایی برای گنجاندن یک بخش (( مسئولیت اجتماعی )) در تدریس فیزیک ، یا برای
وارد کردن (( مطالعات صلح )) در مدارس انجام شده رخ داده است .

3- انتظار می رود انگیزش دانش آموزان افزایش یابد .

4- آموزشگران ریاضی شاید سهم حرفه ای مستقیمی در حل برخی از مسایل رودرروی جامعه انسانی پیدا کنند .

5- جامعه همچنان مملو از کسانی خواهد بود که بر خوردشان با ریاضیات بیشتر مطیع احساس از شکست است . کسانی که یادگیری بیشتر ریاضیات را ، اگر معلوم شود که در آینده بکارشان می آید . ناممکن می پندارند .

 

در حد یک کلاس درس ، آموزگار خوب خود پیشاپیش تا حدی دست به تفکیک برنامه درسی
می زند ، وی برای دانش آموزان پر استعدادتر مسایل پیچیده تری طرح می کند تا پیشرفت بیشتر آنان را برانگیزد و برای کم استعدادتران مسایل ساده تر تا در آنان اعتماد به خویش و ایستاری مثبت تر نسبت به یادگیری ریاضیات بیافریند .

گونه دیگر تفکیک ، بر اساس سرعت ترقی در یک برنامه درسی مشترک است که به وضوح بدان معناست که شاگردان ضعیفتر هنگامی که مدرسه را ترک می کنند مقدار کمتری از برنامه را گذرانده اند  . در برخی از کشورها این گونه تفکیک با نگه داشتن شاگرد در یک کلاس تا هنگامی که در جه آموختگی قابل قبولی بدست آورد انجام می شود .

امکان بهتر کار کردن برای آموزگار :

آموزگاری که باید روزی 5  یا  6  کلاس داشته باشد ، وقت چندانی برای اندیشیدن خویش ، فراهم آوردن مواد آموختن وی ، وارسی گونه های مختلف رویکردهای بدیل ، یا کار با همکاران خود برای توسعه و نوسازی یک برنامه منسجم ندارد .

از آموزگاری که فاقد جا برای کار ، تجهیزات ، بودجه برای خرید مواد یا سفر ، وقت اختیاری برای کار با همکاران یا دانش آموزان است نمی توان انتظار داشت همچون یک
(( کارورز اندیشه گر )) پیشرفت زیادی داشته باشد .

آموزگار همچون (( قربانی )) :

افزودن باری بر دوش آموزگاران مثلا" از طریق ارجاع مسئولیت بیشتر در طرح برنامه درسی انتخاب روشهای آموزشی ، و ارزیابی دانش آموزان ، بسیار ساده است .

روشن است که همه اینها از حیث آموزش مطلوبند اگر پشت آموزگاران قوت کافی برای تحمل چنین باری را داشته باشد . نقش خدماتی ریاضیات اهمیت مردم فزاینده ای دارد . این چیزی

 

 سوای نقش صافی مانند این درس است ، چرا که بسیاری از مشاغلی که ورود به آنها مستلزم ارائه مدارک از دانش ریاضی خواسته در مرحله ورود آن را به کار نمی گیرند .

ریاضیات و دشواری :

رویهمرفته مردم ریاضیات را به عنوان یک درس نخست می شناسند . برای خیلی ها ریاضیات با یک احساس قوی از شکست همراه است . و خاطره آنها از ریاضیات مدرسه خاطره آزمایشها ، امتحانها ، سرخوردگی و ترس از (( غلط در آوردن جواب )) است .

دختران و ریاضیات :

برای دختران و پسران تمایزی قائل نشویم ، چرا که از نظر ما تفاوت اساسی ای وجود ندارد . با وجود این شکی نیست که در خیلی از کشورها تفاوتهای جنسیتی زیادی از حیث چشمداشت و دستاورد در کار هست .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 اضطراب ریاضی موجب ضعف فرآیندهای ذهنی برای‎ ‎انجام عملیات ریاضی، منفی نگری و سردرگمی دانش آموزان می‌شود. این گروه با اجتناب‎ ‎از کلاس ریاضی، ناتوانی در انجام آزمون‌های ریاضی و اضطراب و تشویش فراوان از‎ ‎یادگیری این درس طفره می‌روند. این تصور که استعداد ریاضی مادرزادی است یا پسرها‎ ‎نسبت به دخترها عملکرد بهتری در درس ریاضی دارند، یا درس ریاضی درس منطق است، نه‎ ‎درس خلاقیت، موجب عقب نشینی و مقابله برخی از دانش آموزان از یادگیری علم ریاضی می‎ ‎شود‎.
عوامل موثر در ایجاد اضطراب ریاضی‎ ‎

الف- عوامل محیطی

1ـ فشارهای والدین:

بدیهی است نقش والدین در اضطراب کودکان از درس و مدرسه بسیار موثر و غیرقابل انکار‎ ‎است.
گروهی از پدر و مادرهایی که خود در درس ریاضی ضعیف و کند بوده‌اند این احساس و‎ ‎نگرش خود را به فرزندشان نیز منتقل می‌کنند یا گروهی دیگر نیز با فشارها و توقعات‎ ‎خارج از توان فرزندشان آنان را دچار ترس و اضطراب می‌کنند‎.
2ـ ‎شیوه‎ ‎آموزش آموزگاران:

گروهی از آموزگاران و معلمان مقطع ابتدایی بدون در نظر گرفتن‎ ‎موقعیت ذهنی- روانی دانش آموزان و میزان استعداد‌ها و توانایی‌های آنان، مسائلی‎ ‎برای حل کردن طرح می‌کنند که از عهده بیشتر شاگردان کلاس خارج است. در این گونه‎ ‎موارد، دانش آموزان احساس بی‌کفایتی و ناتوانی می‌کنند و نسبت به استعداد و عملکرد‎ ‎خود بدبین و وازده می‌شوند‎.
3ـ ‎محتوای کتاب‌های ریاضی:

در مواردی‎ ‎نیز محتوای کتاب و ترتیب درس‌های ریاضی به گونه‌ای است که یادگیری مفاهیم ریاضی،‎ ‎سخت جلوه می‌کند و موجب گیجی و سردرگمی دانش آموزان می‌شود.
در چنین مواردی اگر‎ ‎آموزگار هم کمی درایت و تلاش از خود به خرج ندهد و آموزش را راحت‌تر نکند، موجب‏‎ ‎بیزاری دانش آموزان از درس ریاضی می‌شود، زیرا آنان احساس می‌کنند که چیزی نمی‌‎فهمند‎.
4ـ ‎تجارب منفی:

نمره‌های پایین از درس ریاضی، پیش زمینه‌های‎ ‎ذهنی، آموزگاران جدی و سختگیر، روش‌های تدریس اشتباه، توجه نکردن به مراحل رشد ذهنی‎ ‎کودکان و آزمون‌های پیچیده پی درپی، همگی می‌توانند موجب بدبینی دانش آموزان نسبت‎ ‎به درس ریاضی شوند‎.
‎ب - شیوه‌های اشتباه آموزش ریاضی‎ ‎

1ـ تاکید بیش از اندازه بر به یادسپاری:

ریاضی درسی است که بیش‎ ‎از آن که به حفظ کردن نیاز داشته باشد، به فهمیدن و درک کردن نیاز دارد. درک قوانین‎ ‎و مفاهیم ریاضی موضوعی است که برای تدریس این درس باید در وهله نخست مدنظر باشد‎.
2ـ ‎تاکید بر سرعت در پاسخ گویی:

مساله حل کردن و پاسخ دادن به‎ ‎سوالات درس ریاضی نیاز به درک مساله و پرسش آموزگار دارد. پس با فشار آوردن بر دانش‎ ‎آموزان که سریع پاسخ دهید، نمی‌توان مشکلی را حل کرد.
در این گونه موارد، دانش‎ ‎آموزی که قدری کندتر از دیگران عمل می‌کند، احساس بی‌کفایتی و ضعف می‌کند و از‎ ‎یادگیری و درک مساله عاجز می‌ماند.
در مواردی پیش می‌آید که آموزگاری از این که‎ ‎درسی را چند بار تکرار کند و دانش آموزان متوجه نشوند، دچار ناکامی و سرخوردگی می‎شود. اما اگر همین آموزگار روش خود را تغییر دهد و آهسته‌تر مفاهیم ریاضی را برای‎ ‎دانش آموزان جا بیندازد، به طور حتم نتیجه بهتری خواهد گرفت‎.
3- ‎یکنواختی و ابتکار نداشتن آموزگاران در شیوه تدریس:

اغلب دانش آموزان دوست دارند مساله‎ ‎ها و پرسش‌های متنوع و لذت بخش را پاسخ دهند. برای مثال، آموزگار می‌تواند برای به‎ ‎فکر واداشتن دانش آموزان، آنها را در شرایط عینی روزمره زندگی قرار دهد و انتظار‎ ‎داشته باشد که آن مساله را حل کنند. فروشگاهی خیالی با مجموعه‌ای از جنس‌ها با قیمت‎های مختلف و تجسم صحنه خرید و فروش کالا برای کودکان ابتدایی بسیار ملموس، عینی و‎ ‎قابل درک‌تر است تا مثالی دور از ذهن، که کودک هیچ تصوری درباره آن در ذهن ندارد‎. ‎
دانش آموزان ابتدایی (به ویژه دخترها) نیاز به هرچه عینی‌تر کردن مسائل دارند.
آنها‎ ‎به دلیل رشد ذهنی شان هنوز قادر به درک مسائل انتزاعی نـیسـتند، بـرای درک مسالـه و‎ ‎آسـان سازی آن باید از روش‌های ملموس استفاده کرد‎.
4ـ ‎نداشتن درک درست از کاربرد ریاضی در زندگی:

بدیهی است اگر دانش آموزان موارد استفاده از‎ ‎ریاضی را در زندگی روزمره بشناسند و به کار بندند، علاقه بیشتری نسبت به یادگیری‎ ‎این درس از خود نشان خواهند داد‎.
پ - عوامل فردی‎ ‎

1ـ کاهش اعتماد به نفس:

تسلط نداشتن بر انجام چهار عمل اصلی و‎ ‎اولیه ریاضی، درک مساله و راه حل آن موجب کاهش اعتماد به نفس دانش آموز در یادگیری‎ ‎درس ریاضی می‌شود و این چرخه ضعیف (ندانستن، بی‌علاقگی و بیزاری از درس ریاضی) موجب ‎دوری گزیدن از کلیه درس‌های مرتبط با ریاضی «هندسه، ترسیم، جبر، مثلثات و غیره) در‎ ‎آینده می‌شود‎.
2ـ ‎ا حساس ضعف و کمبود:

اغلب دانش آموزانی که به درس‎ ‎ریاضی علاقه ندارند، از اشتباه کردن پای تخته سیاه می‌هراسند. آنها تصور می‌کنند‎ ‎اگر نتوانند پاسخ سوالی را درست جواب دهند، مورد تمسخر و خنده هم کلاسی‌هایشان قرار‎ ‎می‌گیرند.
در حالی که آموزگار وظیفه دارد با اتخاذ روش‌های گوناگون مانع بروز این‎ ‎گونه صحنه‌ها شود‏‎.
3ـ ‎تشویق دخترها به یادگیری ریاضی:

گروهی از‎ ‎والدین تصور می‌کنند که دخترهایشان نیازی به یادگیری عمیق ریاضی ندارند. همان قدر‎ ‎که بتوانند در این درس نمره قبولی بیاورند، کافی است. در حالی که امروزه تمامی رشته‎های درسی به نوعی با ریاضی، برنامه نویسی، حل مساله، تفکر انتزاعی و شیوه استدلال‎ ‎کردن سر و کار دارند.
پس بهتر است دخترها نیز همچون پسرها به یادگیری علم ریاضی‎ ‎تشویق شوند تا امکان دسترسی به رشته‌های گوناگون را داشته باشند‎.
‎اضطراب ریاضی ونقش آموزگاران‎ ‎

بدیهی است‎ ‎رفتارهای پنهان و آشکار (کلامی و غیرکلامی) آموزگار در بروز اضطراب دانش آموزان از‎ ‎درس ریاضی تاثیر زیادی دارد. زمانی که آموزگار ناخودآگاه اخم می‌کند یا با جملاتی‎ ‎توهین‌آمیز و ترشرویی موجب کاهش اعتماد به نفس شاگرد می‌شود، او را از دستیابی به‎ ‎جواب نهایی پرسش یا مساله بازمی دارد‏‎.
‎در مواردی نیز، اضطراب از‎ ‎آموزش صحیح درس ریاضی به دانش آموزان موجب ضعف شیوه‌های تدریس آموزگار می‌شود و‎ ‎ریشه‌های اضطراب را در دانش آموزان به وجود می‌آورد. گروهی از آموزگاران نیز تصور‎ ‎می کنند ریاضی مقطع ابتدایی به قدری ساده است که تمامی دانش آموزان باید آن را‎ ‎بفهمند. در حالی که اگر با مراحل رشد ذهنی کودکان آشنا باشند، این انتظار بی‌مورد‎ ‎را از آنها نخواهند داشت. شناخت اعداد، عددنویسی، درک بزرگ‌تر و کوچک تر، فهم عمل‎ ‎جمع و تفریق و درک مفهوم ضرب و تقسیم نخستین گام‌های آموزش ریاضی است. در کنار آموزش‎ ‎این مفاهیم، آموزگار باید درک مساله، شیوه طرح مساله، قابل فهم بودن مساله، درک راه‎ ‎حل مساله و بیان شیوه حل مساله را نیز به دانش آموزان بیاموزد. هرچه مساله برای ‎دانش آموزان قابل فهم‌تر و ملموس‌تر باشد، یافتن راه حل مساله نیز برای آنان راحت‎‎تر خواهد بود. هرچه آموزگار از مثال‌ها، تمرین‌ها و راهکارهای عینی‌تر استفاده کند،‎ ‎شاگردان ریاضی را شیرین‌تر، آسان‌تر و عملی‌تر خواهند یافت. آموزگاران باید به این‎ ‎نکته توجه داشته باشند که شاگردان ابتدایی هنوز نمی‌دانند چطور باید ریاضی را یاد‎ ‎بگیرند.
به آنها یاد می‌دهند که عملیات جمع و تفریق را حفظ کنند، در حالی که هنوز‎ ‎مفاهیم زیربنایی (استدلال کردن) را نیاموخته‌اند. آنها برای هرچه آسان‌تر کردن‎ ‎آموزش ریاضی به دانش آموزان باید سعی کنند شیوه‌ها و روش‌های تدریس را متناسب با‎ ‎نیازهای دانش آموزان کلاس خود تغییر دهند. آنها باید ابتدا:
1ـ نسبت‎ ‎به ریاضی نگرش و دیدی مثبت و سازنده در خود و شاگردانشان ایجاد کنند. آموزگار باید‎ ‎بپذیرد که وظیفه خطیر آموزش امری ساده و راحت نیست. کودکانی که تا چند سال پیش هیچ‎ ‎انتظاری از آنها نمی‌رفت، به تـــدریج گام در مسیر یادگیری و آموزش گذاشته‌اند.
پیشرفت‎ ‎آنها مرحله به مرحله است. آنها ابتدا مفاهیم اولیه را باید یاد بگیرند. درک مساله‎ ‎ریاضی نیاز به تفکر دارد. اگر دانش آموزی در یکی از این مراحل دچار ضعف و کاستی‎ ‎باشد، گام‌های بعدی را با دردسر پشت سر خواهد گذاشت.
چه بسا آنچه را که در طول سال‎‎های ابتدایی خوب نیاموخته است، تا سال‌های جوانی و بزرگسالی نیز نتواند خوب بفهمد‎.‎
در نظر داشته باشید، باورهای آموزگاران درباره درس ریاضی تاثیر شگرفی بر عقاید دانش‎ ‎آموزان می‌گذارد. اگر معلمی از تدریس ریاضی احساس فشار و ناراحتی کند، موجب انتقال‎ ‎این احساس به دانش آموزانش می‌شود. اگر هدف آموزگار کاهش استرس دانش آموزان است،‎ ‎نباید بگوید سریع جواب بده./ خیلی آسان است./ ریاضی خیلی مهم است./ مسائل را به‎ ‎تنهایی حل کن. / نه، اشتباه کردی‎.
‎در عوض باید‎ ‎بگوید:‎
اگر عجله کنی، حتماً اشتباه می‌کنی./ اگر سعی کنی تمامی ‎مساله را ذهنی حل کنی، ممکن است اشتباه کنی./سعی کن گام به گام مساله را حل کنی‎.‎
این کار باعث می‌شود که مساله را خوب بفهمی و راه حل‌های آن را درست حدس بزنی./ ‎زمانی که مساله را نوشتی، یک بار آن را توضیح بده‎.
‎آموزگاران باید‎ ‎بپذیرند‎:

‎الف- دانش آموزان با یکدیگر تفاوت دارند‎.
‎ب- هر دانش آموزی شیوه واحدی برای فکر دارد. حل یک مساله ممکن است‎ ‎روش‌های مختلفی داشته باشد. پس بهتر است به هر دانش آموزی اجازه دهند که با شیوه‎ ‎خودش مساله را حل کند‎.
‎ج- هیچ گاه دانش آموزان را با یکدیگر مقایسه‎ ‎نکنند‎.‎
2- دانش آموزان را با درس توجیه کند. آموزگار ابتدایی باید‎ ‎سعی کند فلسفه ساده‌ای از ریاضی را برای دانش آموزانش توضیح دهد. گفت وگو و واضح‎ ‎سازی عملیات ریاضی، امکان پرس وجو‌های کلاسی، اشکال‌گیری، ارائه تمرین‌های ساده به‎ ‎پیچیده، گوشزد کردن قوانین ریاضی به دانش آموزان از جمله نکاتی است که معلم درس‏‎ ‎ریاضی باید به آنها توجه داشته باشد‎.
3ـ ‎انجام آزمون‌های کوتاه و‎ ‎متنوع می‌تواند از اضطراب ریاضی دانش آموزان بکاهد. تست‌های ساده ریاضی، حل مسائل‎ ‎آسان ریاضی، موفقیت‌های پی درپی در آزمون‌های ریاضی و پیشرفت گام به گام در درس‏‎ ‎ریاضی موجب تقویت اعتماد به نفس دانش آموزان در یادگیری علم ریاضی می‌شود. پرسش‌های‎ ‎ساده‌ای که آموزگار مطمئن است دانش آموزان پاسخ‌های آنها را می‌دانند، آزمون‌های‎ ‎هفتگی که از بین درس‌های هفته انتخاب شده است و تمرین‌های مکرری که صرفاً برای‎ ‎یادآوری درس‌های قبلی آورده می‌شود، نیز موجب حضور ذهن دانش آموزان در کلاس می‌شود‎.
4- ‎مثـبت نـگـری را بـه دانــش آموزان بیاموزید
با پایان هر سال تحصیلی‎ ‎دانش آموزان یک سری تجارب و خاطرات خوشایند و ناخوشایند را با خود به سال تحصیلی‎ ‎جدید می‌آورند.
آموزگار درس ریاضی باید سعی کند تجارب منفی و ناخوشایندی را که‎ ‎گروهی از دانش آموزان در خصوص درس ریاضی در ذهن دارند، فراموش کند و زمینه‌ای مثبت‎ ‎به آنها بدهد.
کاهش اضطراب ریاضی از طریق رفع اشکال و بازگشت به مفاهیم اولیه، به‎ ‎کار بستن شیوه‌های جدید آموزش، ایجاد فضایی شاد و پرانرژی، پذیرش اشتباه و خطای‎ ‎شاگردان، تشویق به پرسش‌های کلاسی و درک اشکالات دانش آموزان از جمله نکاتی است که‎ ‎آموزگاران برای کاهش اضطراب ریاضی در میان شاگردانشان می‌توانند به کار بندند.
احساس‎ ‎خجالت و شرمساری، احساس مشترکی است که اغلب دانش آموزانی که نمی‌توانند پاسخ‌های‎ ‎صحیح مسائل ریاضی را بنویسند، بدان دچار می‌شوند.
آموزگاران باید آگاه باشند فرصتی‎ ‎که برای حل مساله به دانش آموزان می‌دهند، متناسب با سختی و پیچیدگی مساله باشد‎.‎
آموزگارانی که انتظار دارند دانش آموزان همواره جواب صحیح را به دست آورند، آنها را‎ ‎دچار اضطراب و نگرانی می‌کنند و موجب شرمساری آنها جلوی دوستان و هم کلاسی‌هایشان‎ ‎می شوند.
همین امر موجب می‌شود که این گروه از دانش آموزان از مطرح کردن پرسش‌های‎ ‎خود سر کلاس اجتناب ورزند‎.
5ـ ‎با خوش رویی و روحیه‌ای شاد تدریس‎ ‎ریاضی را آغاز کنید. آموزگارانی که عصبانی، خسته و پرخاشگرند و با کج خلقی به دانش ‎آموزان درس می‌دهند، جوی منفی و ناخوشایند در کلاس حاکم می‌کنند کـه موجـب تـرس و‎ ‎دلـهــره دانـش آموزان می‌شود‎

 

 منبع: http://esmaeil52.blogfa.com/post/2